M?gliche Themen für Abschlu?arbeiten (Bachelor, Master, Staatsexamen) in Bereich von Algebra, Geometrie und Zahlentheorie

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Themengebiete für Abschlu?-Arbeiten (Prof. Hien)

• Kryptographie mit elliptischen Kurven:
  Grundlagen zu elliptischen Kryptosystemen, Angriffsm?glichkeiten, ...
• Algebraische Zahlentheorie:
  die Klassenzahl von Zahlk?rpern, Bewertungstheorie, ...
• Algebraische Geometrie:
  Kurven über endlichen K?rpern, Kohomologische Methoden, ...
• Algebraische Analysis:
  lineare Differentialoperatoren unter algebraischen Aspekten, ...
• Themen aus anderen Gebieten, z.B. der Topologie.

Themengebiete für Abschlu?-Arbeiten (Prof. Nieper-Wi?kirchen)

Beispiele für Themenstellungen in den einzelnen Gebieten (Erl?uterungen zu diesen Themen und weitere m?gliche Themen k?nnen jederzeit in einem pers?nlichen Gespr?ch besprochen werden):

• Algebraische Geometrie:
  • "Das Hilbertschema von Punkten auf einer Variet?t: Welche Konfigurationen k?nnen n Punkte auf einer Variet?t annehmen? Was passiert, wenn diese Punkte zusammensto?en?"
  • "Der étale Situs: Wie k?nnen wir die Zariskische Topologie einer Variet?t verfeinern? Was sieht der lokale Umkehrsatz in der algebraischen Geometrie aus?"
• Klassische Algebra:
  • "Die Galoissche Gruppe einer Gleichung vom Grade 4."
  • "Das inverse Problem der Galoisschen Theorie: Welche Galoisschen Gruppen treten bei Polynomen über Q auf?"
  • "Wittsche Vektoren: Was haben Wittsche Vektoren mit Lambda-Ringen und dem K?rper mit einem Element zu tun?"
  • "Liesche Algebren: Wie lassen sich halbeinfache Liesche Algebren klassifizieren? Was ist eine eingeschr?nkte Liesche Algebra?"
• Abstrakte Algebra:
  • "Operaden: Was ist eine Operade? Wie werden mit Operaden einheitlich verschiedene Typen von Algebren wie assoziative, kommutative und Liesche Algebren modelliert?"
• Grundlagen der Mathematik:
  • "Mengenlehre und Kategorientheorie: Warum scheint die Kategorientheorie so viel Wert auf ihr mengentheoretisches Fundament zu legen?"
  • "Intuistionistische Logik: Wie unterscheidet sich die intuistionistische Logik von ihrem klassischen Pendent? Inwiefern umfa?t sie die klassiche Logik? Warum taucht sie beim Studium von Garben auch in klassischer Logik zwangsl?ufig auf?"
• Konstruktive Mathematik:
  • "Konstruktive Version des Fundamentalsatzes der Algebra: Wie lassen sie die Nullstellen eines Polynoms über den komplexen Zahlen finden? Wie lassen sie Nullstellen von Polynomen über anderen K?rpererweiterungen von Q, wie den p-adischen Zahlen, berechnen?"
  • "Konstruktive Galoissche Theorie: Gibt es einen Algorithmus, welcher eine Polynomgleichung auf Aufl?sbarkeit untersucht und im Falle der Aufl?sbarkeit ihre L?sungen in Termen von Radikalen angibt?"
• Kategorientheorie:
  • "Das Theorem über adjungierte Funktoren: Unter welchen Voraussetzungen besitzt ein Funktor einen adjungierten? Warum sind mengentheoretische ?berlegungen hier wichtig?"
  • "Abgeleitete Kategorien und Modellkategorien: Inwiefern kann die Theorie der abgeleiteten Kategorien im Rahmen der Theorie der Modellkategorien gesehen werden?"
  • "Abelsche Kategorien: Warum l??t sich in abstrakten abelschen Kategorien h?ufig wie in Modulkategorien rechnen?"
• Differentialgeometrie:
  • "Synthetische Differentialgeometrie: Wie lassen sich infinitesimal kleine Gr??en mathematisch korrekt behandeln? Wie k?nnen wir annehmen, da? jede Abbildung automatisch differenzierbar ist?"
• Topologie:
  • "Spektralsequenzen: Wie lassen sich stabile Homotopiegruppen von Sph?ren mit Spektralsequenzen bestimmen?"
  • "R?ume ohne Punkte: Inwiefern sind die offenen Mengen eines topologischen Raumes bessere Grundbausteine als seine Punkte? Braucht man das Auswahlaxiom in der Topologie wirklich?"
• Mathematische Physik:
  • "Klassische Feldtheorien: Wie lassen sich klassische Feldtheorien wie die der Elektrodynamik oder die allgemeine Relativit?tstheorie mittels Hauptfaserbündeln geometrisch modellieren?"